LA CASA DEI NUMERI

LA CASA DEI NUMERI

MATEMATICI  CHE  PENSANO! CHE FATICA!

Re Nero in FILOSOFIA come commento all'articolo del 25 ottobre: FILOSOFIA E SCIENZA G. W. F. HEGEL: IL VERO, IL FALSO E LA MATEMATICA e ai numerosi interventi di commento scriveva: Questa discussione è filosoficamente molto interessante e con enormi spunti inerenti ai temi di questo gruppo.

 Sono in gioco l'ontologia, la fondazione della conoscenza, i rapporti tra filosofia e matematica, nonché le modalità di un loro uso reciproco fecondo. Consiglio la lettura degli ultimi sviluppi e la rilettura in generale.

Il suo invito, che ho accolto con piacere - tra l'altro lo ringrazio perchè mi ha offerto l'occasione di rivedere il teorema di Church da lui citato - mi ha indotto a qualche riflessione.

Nelle risposte viene ostentata una certa inimicizia verso il mondo dei numeri e verso una supponente e vantata certezza da parte dei matematici circa l'esattezza della loro disciplina ma in realtà la storia della matematica è soprattutto una storia di accese controversie, di eresie e di eretici. Gli irrazionali di Pitagora, i numeri immaginari, gli indivisibili, gli infinitesimi, le geometrie non euclidee e, in tempi più recenti, l’infinito attuale di Cantor, le antinomie, i mondi non standard, ecc. non sono che una parte di quelle eresie oggetto di lunghe e travagliate controversie. E' vero che alla fine dell'ottocento e a cavallo dei due secoli a molti matematici la loro disciplina parve onnipotente paradiso e sistema fondato di certezze ma è altrettanto vero che grandi matematici, come Cantor, Kroneker Hilbert, Ramsey, Poincarè, e grandi   logici, come Goedel e Russell, ammisero che tutte quelle speranze di un paradiso senza confini e di un sapere assolutamente certo e fondato erano solo illusioni. Le stesse matematiche intuizioniste, concettualiste, formaliste, realiste erano evidenti testimonianze di una discordia profonda circa enti e procedimenti ammissibili in matematica che trovava a sua origine in differenti concezioni filosofiche fra loro rivali e inconciliabili. Anche se a sostenerle erano matematici quali Brovuer, Kroneker, Hilbert, Frege. Siamo lontanissimi dalle precedenti certezze, vantate dagli  amici e detestate dai nemici, del mondo dei numeri.

Di più! Spesso i matematici erano pienamente coscienti che  le nuove entità introdotte per risolvere problemi poggiavano sul nulla ma visto che “funzionavano”, che risolvevano problemi astratti e concreti, in matematica, in meccanica, in astronomia, in idraulica non si lasciarono intimorire dalle critiche e continuarono ad usarli.

Ma, se talvolta, come nel caso dei numeri immaginari e degli infinitesimi, pur consci della loro incerta esistenza e natura, li difesero e li usarono, altre non osarono neppure pubblicare le loro sconvolgenti scoperte (o invenzioni). Gauss, dopo averla elaborata, non rese pubblica la sua "eretica" geometria per paura delle “strida dei beoti”. 

Il programma logicista-realista fallì per non essere riuscito a fondare l’infinito attuale inventato (o scoperto) da Cantor; quello stesso infinito che, considerato un “paradiso” da Hilbert e dalla sua scuola, per altri non era altro che una illusione basata sul nulla.  

Anche il programma assiomatico di Hilbert, che sperava, con esso, di dimostrare la coerenza di tutta la matematica, fallì.

Fallì perché minato nei suoi presupposti dalle obiezioni dei concettualisti e degli intuizionisti e dai suoi stessi sviluppi. Nel 1930 Goedel comunicò due inquietanti scoperte. La prima affermava che la coerenza di un sistema che comprende la teoria dei numeri non può essere dimostrata, la seconda che una qualsiasi teoria, che comprenda il sistema dei numeri, ha almeno un enunciato vero e non dimostrabile. Successivamente Church, come ricorda Re Nero, dimostrò che, in generale, non si può dimostrare se una certa formula sia o non sia un teorema del sistema.

Ma non furono solo gli esiti appena ricordati a porre una pietra tombale sul programma, perché la logica e la matematica mostrarono presto una molteplicità indesiderata..

Nel 1940 sempre Goedel dimostrò che il controverso assioma di scelta e l’ipotesi del continuo sono coerenti con il sistema di Zermelo, nel 1963 Paul J. Cohen dimostrò che i quei due stessi assiomi erano indipendenti dal sistema di Zermelo. Tutto ciò significa che possiamo costruire differenti sistemi matematici affermando o negando entrambi o uno dei due.

Siamo comunque sempre all'interno di una logica-insiemistica fondata su un sistema di assiomi, che, come detto, non solo suscitava seri dubbi ma che, anzi, dava addirittura fastidio a pensatori concettualisti e finitisti come Poincarè, come Ramsey, come H. Weill. Quest’ultimo (e forse anche Ramsey) aderì poi a quella particolare forma di finitismo che fu ed è l'intuizionismo.

Forse bisogna accettare che i tentativi di sistematizzare in un’unica concezione il mondo dei numeri siano paragonabili ( trasformo un pensiero di Kroneker, che criticava Cantor, in una metafora) alle fatiche di un architetto che edifica faticosamente un grande palazzo incantato per i numeri ma senza nessuna garanzia che i numeri possano abitarvi e che quei numeri siano proprio i numeri che usiamo tutti i giorni quando facciamo la spesa.

Questo è uno degli argomenti su cui mi piacerebbe sapere quali sono le vostre opinioni in proposito.