Matematica come fantastica storia di ersie e di eretici - Quando si capirà che il lussurioso mondo dei numeri non è l'arida e meccanica disciplina che si crede, potremo avvicinare cultura umanistica e cultura scientifica. - Un contributo alla loro reciproca comprensione - prima puntata

Una storia di eresie

 Una filigrana di eresie percorre la storia canonica della matematica.

Contemporaneo di Galilei, Bonaventura Cavalieri inventò un metodo di calcolo, in cui una linea era una somma infinita di punti, un’area una somma infinita di segmenti e un volume una somma infinita di piani. La sua opera, nota come geometria degli indivisibili, fu giudicata come un tentativo di raccogliere l’acqua con un setaccio. Dice Borges, vero nume tutelare di tutte le eresie.

La vasta biblioteca è inutile. A rigore, basterebbe un sol volume, di formato comune, stampato in corpo nove o in corpo dieci, e composto d’un numero infinito di fogli infinitamente sottili. (Cavalieri, al principio del secolo XVII, affermò che ogni corpo solido è la sovrapposizione d’un numero infinito di piani).

Cavalieri incredibilmente ottenne grandi risultati. Oltre che confermare risultati già noti, calcolò lunghezze, aree e volumi mai prima calcolati. Nonostante questi successi non riuscì a convincere i contemporanei: quegli strani indivisibili puzzavano troppo di zolfo. Inutilmente si difese sostenendo i suoi indivisibili erano solo scorciatoie.

Gli indivisibili, queste fantomatiche entità che erano e non erano, ma dei quali si doveva comunque parlare, furono presto abbandonati. Con la nuova geometria algebrizzata di Fermat e di Cartesio, gli indivisibili scomparvero, ma nacquero gli infinitesimi loro stretti parenti. La geometria era cambiata, ma anche nella nuova si tornò a parlare di quantità infinitamente piccole e di aree calcolate come somme di infiniti segmenti. Il sospetto che aveva afflitto gli indivisibili si trasferì sui non meno eretici infinitesimi; un sospetto che durò almeno due secoli fino a che Causchy e Weierstrass non inventarono una procedura che otteneva gli stessi risultati, ma non parlava di infinitesimi. L’analisi poté essere trascritta e redenta dal rigore che il nuovo metodo permetteva.

Nonostante ciò, molti manuali d’ingegneria continuarono spesso a lavorare con i troppo comodi infinitesimi fino a che, nella seconda metà di questo secolo, quegli stessi infinitesimi, che secondo Leibniz costituivano la grana fine dell’universo accessibile solo all’intelligenza infinita di Dio, si presero la rivincita, divenendo legittimi e non eretici cittadini nei mondi dell’analisi non standard inventata ( o scoperta o costruita, o fondata) da Robinson.

E che dire delle geometrie non euclidee?

Questo tormentone proveniva da un dubbio tanto antico quanto irrisolto circa la validità dell’assioma[i] delle parallele formulato da Euclide. L’assioma, che recita che se P è un punto e a una retta, per P passa una sola parallela ad a, apparve subito sospetto. E neppure tanto evidente doveva essere apparso a Euclide che lo aveva introdotto, non con gli altri assiomi, ma dopo aver dimostrato una trentina di teoremi. Questa strana collocazione fu subito interpretata come se lo stesso Euclide volesse far capire di averlo introdotto solo nel quando non poteva più farne a meno.

L’idea che il mondo non fosse euclideo, era così eretica che non venne neppure presa in considerazione. La dimostrazione dell’assioma divenne, così, l’ossessione della storia della matematica. Nei secoli si accumularono oltre mille ufficiali e inutili tentativi di soluzione e non furono pochi i matematici che dedicarono alla soluzione del problema la loro vita. Wolfang Boylai, padre di quel Giovanni che diede una svolta definitiva all’enigma, fu fra questi.

Una mezza svolta l’aveva già impressa il matematico Gerolamo Saccheri di Pavia. Questi negò l’assioma delle parallele e sviluppò un nuovo sistema. Saccheri sperava di imbattersi in un “assurdo” che dimostrasse che Euclide aveva ragione e lo volle così tanto che finì per trovarlo anche dove non c’era.

Ciò che Saccheri aveva iniziato era una geometria non euclidea. Dopo di lui, altri, tra cui Lambert, fecero intravedere brandelli di questo nuovo universo. Gauss lo costruì effettivamente, ma non volle renderlo pubblico e infine Boylai nel 1825 e Lobacevskiy nel 1826, esposero una nuova geometria che partiva dall’assunzione dell’esistenza di due parallele a una data retta.[ii]

Boylai comunicò le sue scoperte al padre commentando: “Aggiungo solo questo: Ho creato un universo completamente nuovo dal nulla.”

I “nuovi” ed eretici mondi furono accettati dagli accademici con inconsueta calma (o rassegnazione). Ciò accadde perché il problema era ormai maturo e anche perchè Gauss li approvò con entusiasmo. L’autorità e il genio di Gauss[iii] erano così grandi da poter imporre ai dotti custodi dell’ortodossia (pur fra amare masticazioni) anche una simile rivoluzione.

Le implicazioni matematiche, filosofiche, fisiche dell’eresia non euclidea furono e rimangono enormi: Ma soprattutto nuova furono l’apertura mentale e lo spirito di libertà che una simile rivoluzione riuscì a suscitare. Com’era effettivamente il mondo? Euclideo o non euclideo? Come si doveva interpretare questa pluralità di geometrie? Come si doveva concepire lo spazio? Le geometrie non euclidea non aprirono solo una porta nei muri dell’ortodossia, ma li sfondarono. 

Mentre la geometria veniva così rivoluzionata, l’analisi stava procurando non pochi grattacapi ai suoi adepti. L’elaborazione della neonata teoria delle classi proposta da Cantor procurava più sospetti che certezze. Un’inquietudine che sfociò in una vera guerra che aveva per oggetto la stessa natura degli enti e dei ragionamenti matematici. Quali ragionamenti potevano essere ritenuti sicuri? Quali entità potevano essere accettate? Non fu solo una guerra tra normalizzatori e rivoluzionari. Fu una guerra fra filosofie rivali e fra mentalità irriducibili.

Alla base della costruzione di Cantor sta il concetto di corrispondenza biunivoca. Due insiemi sono in corrispondenza biunivoca ( e quindi equinumerosi, equipotenti, ecc. )quando è possibile far corrispondere a ogni elemento di un insieme uno e un solo elemento dell’altro e viceversa. Con questa definizione è facile capire che l’insieme dei numeri pari è equipotente a quello dei numeri dispari. Non è necessario saper contare per verificare una corrispondenza biunivoca. Se su tavola abbiamo messo un coltello accanto a ogni piatto, siamo sicuri che a ogni piatto corrisponde un coltello e a ogni coltello un piatto e che l’insieme dei piatti è equinumeroso a quello dei coltelli.

Assegnare una cardinalità ad un insieme finito non da nessun problema. Le difficoltà nascono con gli insiemi infiniti.

 Attenzione! Qui si parla di insieme con infiniti elementi, non di infinito potenziale o infinito in fieri, non di quell’infinito che citiamo quando intendiamo significare che il processo è senza fine, ma dell’infinito attuale: di un insieme che contiene infiniti oggetti.

Cantor giunge alla definizione di insieme infinito proprio tramite il concetto di cardinalità. Prendiamo un insieme finito, ad esempio quello degli umani, e un suo sottoinsieme, quello delle donne. Potremo farli corrispondere in tutte le maniere che vogliamo, ma non otterremo mai una corrispondenza biunivoca, poiché l’insieme delle donne è solo una parte (sottoinsieme) dell’insieme che comprende uomini e donne. Quando, invece, si lavora con insiemi infiniti accade qualcosa di molto strano in cui si era già imbattuto Galileo.

Se consideriamo un insieme infinito, quello degli interi ed un suo sottoinsieme quello dei numeri pari, si può facilmente verificare come possano essere messi in corrispondenza biunivoca, accoppiando: 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6 e così via, come indicato in figura.

 Questo risultato è sconcertante; ci dice che i due gruppi, un insieme e un suo sottoinsieme, sono equinumerosi. Galileo si ritirò di fronte a questa assurdità, Cantor, al contrario, la trasformò nella definizione dell’infinito attuale; un insieme è infinito, ci dice, infatti, Cantor se ciascuno dei suoi membri può essere posto in corrispondenza biunivoca con ciascun elemento di un suo sottoinsieme. Il che non significa altro che per gli insiemi infiniti il tutto è uguale a una sua parte.

Con questo risultato, il dado era tratto, l’infinito attuale, lo sfuggente e misterioso infinito giudicato di volta in volta impensabile, opera di fantasia, mostruosità, era stato ingabbiato in una definizione. Una definizione che insinua molti dubbi: quali proprietà, quali enti, quali ragionamenti possono essere impunemente usati in questo nuovo, immenso e sconosciuto dominio?

Qual è il rapporto fra l'infinità dei numeri naturali e quella dei numeri razionali? L’intuizione ci porterebbe a credere che i secondi siano infinitamente più numerosi dei primi; esiste, infatti, un solo numero 2 mentre sono infinite le frazioni con numeratore 2 ( 1/2, 2/2, 3/2) e infinite quelle con numeratore 2. Se i numeri naturali possono essere rappresentati da una infinita fila di alberi, l'insieme dei razionali sembra una foresta incantata che non ammette sentieri. I numeri naturali sono ordinati nella serie:

1 ,2 , 3, .....

in cui ogni numero ha un unico e ben definito antecedente e un unico e ben definito successore; ma che dire dei frazionari?  Nessuna frazione ammette un immediato successore né un immediato antecedente. 1/3 non è l'immediato antecedente di 1/2 né lo 3/5 e neppure 6/10. Per qualsiasi frazione inferiore ad 1/2, se ne potrà sempre trovare infinite superiori alla frazione pensata e inferiori a 1/2 Sembra proprio che l'insieme dei numeri frazionari non ammetta né ordine né bussola e che in quella babelica foresta tra due alberi qualsiasi esistano sempre altre infinite piantagioni.

La stupefacente impresa di Cantor sta nell’aver pensato e dimostrato che l’infinità dei naturali è uguale a quella dei razionali perchè a ogni numero naturale è possibile far corrispondere biunivocamente un razionale. Ciò che prima di Cantor pareva un  infinito labirinto, dopo Cantor appare come un quadrante infinitamente esteso nelle sue dimensioni, ma in cui un rigoroso sentiero, infinitamente lungo riesce ad incontrare ogni frazione.

Ecco come Cantor percorre questo labirinto:

La linea a Zig Zag incontra tutti i numeri e la foresta incantata diventa un sentiero in cui gli alberi, si succedono l’un l’altro secondo una successione:

1 , 1/2 , 2 , 3 , 2/2 , 1/3 .......

i cui membri possono essere posti in corrispondenza biunivoca  col sentiero dei numeri interi:

1   2     3   4   5   6......

Il successivo infinito da affrontare é il continuo: l'infinito di tutti i numeri razionali e irrazionali, quello dei punti sulla retta, quello dei paradossi di Zenone, un vero abisso.

La potenza (numero cardinale) di questo insieme è pari o superiore a quella dei razionali? Ancora una volta l'ingegner Cantor edifica una delle sue ordinate costruzioni, allineando verticalmente una infinità di numeri ciascuno con infinite cifre decimali.

0,26543....

0,43567....

0,56243....

0,............

Questo elenco, che è infinito, contiene tutti i numeri? Se li contiene il continuo avrà la stessa potenza dei razionali se non li contiene sarà un infinito più potente (di cardinalità superiore) ai precedenti.

Cantor risolve l’enigma indicando il metodo per costruire un numero sicuramente non compreso nella lista. Questo numero avrà la sua prima cifra diversa dalla prima del primo numero, la seconda diversa dalla seconda del secondo, la terza diversa dalla terza del terzo e così via all'infinito.

Il numero 0,545... , uno degli infiniti numeri costruibili con questo sistema, non è sicuramente compreso nell’elenco.

Questi nuovi numeri ci dimostrano che nella babele degli infiniti già classificati, il continuo è il più potente. Con questo risultato ci si è però appena addentrati nel cuore di quel problema, che sta nel mettere ordine nei tipi di infiniti. Quanti sono? Sono ordinabili? Se lo sono quali posizioni occupano l’infinito numerabile dei naturali e quello non numerabile del continuo?

Senza addentrarci nei procedimenti di Cantor per dare risposta a queste domande, rileviamo solo che una risposta la dà dimostrando che dato un qualsiasi insieme I l’insieme potenza risultante dalla riunione di tutti i suoi sottoinsiemi ha una cardinalità superiore a I. Nell'infinita gerarchia degli insiemi infiniti che Cantor costruisce e indica con ALEPH 0, ALEPH 1, ALEPH 2 ..e così via, se l'insieme dei naturali corrisponde ad ALEPH 0, l'insieme del continuo a quale ALEPH corrisponde?

Cantor si affanna, ma non trova una risposta a questo enigma che si trascinerà irrisolto per circa un secolo e che, quando troverà una risposta, ne troverà due che, in certo senso, sono in contraddizione: dato un sistema coerente di assiomi per l’aritmetica (sistema di Zermelo), dapprima Goedel ha dimostrato che l’ipotesi del continuo (quella che pone la cardinalità del continuo pari a ALEPH 1) è coerente con quel sistema, mentre successivamente Cohen ha dimostrato che anche la negazione dell’ipotesi del continuo è coerente con quel sistema.

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[i]Uso “assioma” anche per i postulati.

[iii]Gauss non doveva credere certamente alla sua autorità se, avendo lui stesso elaborato una geometria non euclidea (nel senso di Boylay), non la pubblicò perchè, come ebbe a dire, temeva le urla dei beoti.